La dimostrazione del teorema di Pitagora di Leonardo da Vinci

Dato il triangolo ABC di base AC, retto in A, costruire sui due cateti i quadrati degli stessi. Di questi unire i due vertici più vicini tra loro non adiacenti al triangolo. Poi costruire sull’ipotenusa il quadrato della stessa. Sul lato opposto a BC costruire un triangolo congruente ad ABC ruotato di 180° sia sulla base, sia sulla altezza. Infine unire con una retta l’angolo retto del primo triangolo con quello del triangolo appena costruito.

 1445869923689

Th: DEFG = DBCG

1- AEF = ABC per il primo criterio di congruenza dei triangoli, infatti:

L’angolo BAC = EAF (angolo) perché opposti ;

AB = EA perché lati di uno stesso quadrato;

AC = AF perché lati di uno stesso quadrato.

2- DEA = DBA per il primo criterio di congruenza dei triangoli, infatti:

DB = BA = AE = ED perché lati di uno stesso quadrato;    

l’angolo DEA = DBA  (angolo) perché angoli di uno stesso quadrato.

3- Il triangolo AFG = ACG per l’analogo motivo

Di conseguenza DEFG  = DBCG per somma di figure equivalenti.

Th: ACIH = ABLH

AC = LH per costruzione;

AB = HI per costruzione;                          

BL = CI per costruzione;

l’angolo ACI è congruente all’angolo HLB per somma di angoli congruenti ;

l’angolo ABL è congruente all’angolo CIH per l’analogo motivo;

l’angolo CAH è congruente all’angolo AHL perché alterni interni rispetto alle rette parallele AC e LH;

l’angolo BAH è congruente all’angolo AHI per l’analogo motivo, rispetto alle rette parallele BA e HI;

AH in comune.

I poligoni ACIH e ABLH risultano congruenti e quindi equivalenti per il criterio di congruenza dei poligoni (due poligoni sono congruenti se hanno tutti i lati e gli angoli congruenti).

Th: DBCG = ACIH

BC = CI per costruzione;

DB = IH per la proprietà intransitiva ( IH = AB = DB);

CG = CA perché lati di uno stesso quadrato;

l’angolo GCB è congruente all’angolo ACI per somma di angoli congruenti;

l’angolo DBC è congruente all’angolo CIH per somma di angoli congruenti.

Di conseguenza DBCG = ACIH per un altro criterio di congruenza dei poligoni che dice che due poligoni sono congruenti se hanno n -lati congruenti e gli angoli compresi.

Sottoindendo la parte comune ad entrambi (il triangolo CAO) e sottraendo a DBCG il triangolo ABO e a ACIH il triangolo IKH (congruenti) risulta che DAB + ACG = OCIK. Per la proprietà transitiva dato che DBCG = DEFG e ACIH = ABLH , DEA + AFG = BOKL.

Facendo la somma risulta che: ABDE + ACGF = BCIL.

Quindi la somma dei quadrati costruiti sui due cateti è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa.


Annunci